Най-трудно лихвен процент

Комплекс смесване интерес процент - интерес скоростта, с която основа на натрупване, в сравнение с проста интерес, е п д R е т е н п о-то. т.е. се начислява лихва върху лихвата.

Както е предвидено в предварително определен период от единица олихвяване (година, месец, тримесечие и т.н.), както и лихва аз (или аз% = 100 и). Нека първоначалното количество изключително е P. Тогава устройството през пролука ще бъде сума на мито S 1 = P (1+ I), както е в случая на прост процента. Въпреки това, до края на общата интервал на втората мито единица е S 2 = S 1 (1 + l) = Р (1+ и) 2 (за разлика от формула S 2 = P (1 + 2) за проста процента. До края на трета период получи S 3 = S 2 (1 + l) = Р (1+ и) 3. И така, в края на N-ти период на единица получат

Така че, след като п периоди от първоначалната сума от P ще се увеличи (1+ и) п пъти. Модификатор (1+ I) п е наречен смесване фактор. Имайте предвид, че от натрупване съединение интерес е растеж от първоначалното количество на закона на геометрична прогресия, който е първият план и знаменателят P. 1+ аз.

Проблем 1: Първоначалната сума депозит P = 40 000 стр. Интерес аз процент% = 10% годишно. Определя naraschѐnnuyu при сложна лихва в продължение на 3 години, а след това да го сравни с размера на смесване схема на проста лихва.

Решение. Прилагането на формула (1), имаме

S 3, сложен = P (1+ I) 3 = 40 000 (1 + 0,1) = 3 53 240 стр.

Ние изчисляваме сумата по схемата naraschѐnnuyu проста лихва:

S 3, PR = P (1 + 3 I) = 40000 (1 + 0,3) = 52 000. <53 240 р.

Така, в този случай използването на резултати на смесване в по-голямо количество naraschѐnnoy че вложител предимство в сравнение със схемата на частичното прост процента.

Формула смесване смесване (1), получени за цялата

положителен п. приложимо за число т

Тук P - първоначална сума, п к - к-тата продължителност лихвен период и аз к - простата лихва за периода с номер к.

Задача 3. В договора за обслужване на банковите депозити в продължение на 4 години, определени с променлив лихвен процент на сложна лихва, както следва. В 1-ва година - 6%, през 2 и 3-та година, скоростта е същата - 5% годишно, за четвъртата година

- 8%. Определяне на стойността на фактор смесване за 4 години.

Решение. Нека P - някои първоначални сума. Според проблема

1 I = 0.06, J = 2 и 3 = 0,05, и 4 = 0.08.

Нека и 23 = 0,05. Има в съответствие с формула (2):

S = P (1, т 1) 1 (1 и 23) 2 (и 1 4) 1 = P (1 + 0,06) (1 + 0,05) 2 (1 + 0,08).

В резултат на изчисления се получава стойността на смесване фактор:

S / P = (1 + 0,06) (1 + 0,05) 2 (1 + 0,08) = 1,262142.

Сравнение на растеж на прости и сложни процента

В същото лихвен процент и натрупването на смесване:

е по-бързо, отколкото проста лихва, ако продължителността на периода на начисляването за един период;

Тя е по-бавен, отколкото проста лихва, ако продължителността на периода на по-малко от един период на смесване.

По-рано беше отбелязано, че увеличението на парите за същия период, независимо от това дали схемата на прости или сложни процента.

Нека докажем по-горе. В действителност, когато аз> 0:

ако т> 1, тогава (1+ и) т> 1+ него; ако 0

За да се докаже това разглеждане на функцията F (т) = (1 + I) т и г (т) = 1+ него. Очевидно е, че е (0) = грам (0), е (1) = грам (1) и двете функции растат в т 0 не само за смислен смисъл, но и с оглед на позитивност официално деривати е (т) = (1+ и) т LN (1+ I) и г (т) = аз. В същото време, на втория ред производно е (т) = (1 + I) т 2 LN (1+ I) е положителен за тон 0, което означава надолу изпъкналост функция е (т) в т 0 (т.е., ускорен растеж) , ж функция (т) нараства линейно

Графиката показва функция F (т) = (1 + I) т и г (т) = 1+ това в зависимост от т:

Пример. Нека сумата от Р = 800 се увеличава в размер I = 8% прости и сложни процента. Тогава naraschѐnnye суми са

За да се оцени перспективите им на кредиторите и длъжниците често важно да се знае колко пъти размера на кредита се увеличава с N пъти в даден лихвен процент аз. Сравняването на този фактор за комбиниране стойността на Н., в резултат на което получаваме:

а) за лесно процента 1 + Ni = Н. където п = (N -1) / I.

б) за смесване (1 + I) п = Н. където п = LN N / LN (1 + I).

Задача 4. Изчислява се броят на година дългът ще нарасне със скорост два пъти по-проста и сложна лихва от 4% годишно. Резултатите се сравняват.

Решение. Чрез проблем състояние аз = 0.04, N = 2. имаме

а) прост интерес за п = (N -1) / I = 1 / т. където п = 1 / 0.04 = 25 години

б) за смесване п = LN N / LN (1 + I), където п = 2 LN / LN (1.04) 17.67 години. Изчисляването на съединение схема интерес ще се удвои дълга.

Някои начини за начисляване на лихви при фракционна няколко години

В практиката на финансовите институции при фракционна няколко години т интерес се изчислява по различен начин. Обърнете внимание на три основни начина на зареждане.

1. Чрез смесване формула: S = P (1+ I), т.

2. Въз основа на Комбинираната Метод съгласно която броят число години смесване интерес и за фракционна - проста: S = P (1+ I) п (1+ BI), където т = п + б. п - цяло число, а, Ь - дробна част от една година.

3. брой търговски банки прилага обикновено в съответствие с времето, за което по-малък период на безлихвен, т.е. натрупване

Задача 5. Размерът на кредитите, предоставени от 27 месеца е 100 000. Годишният лихвен процент е 20%. Изчислете naraschѐnnuyu Стойности, изразени в три начина.

Решение. Според проблема за срока на кредита е 2,25 години. Ние имаме следните изчисления.

Съгласно първия метод: S I = 100 000 (1 + 0,2) 2. 2 5 150 715 на стр. 46 копейки. Съгласно втория метод: S II = 100 000 (1 + 0,2) 2 (1 + 0,25 0,2) = 151 200 стр. На третата метод: S III = 100 000 (1 + 0,2) 2 = 144 000 стр.

Формула намаления при смесване

В математическата формула на намаления

Ако дисконтирането се извършва в съответствие със схемата на банковата (търговски) счетоводство, първоначално договорена отстъпка процент г. г 0 <1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен

Задача 7. Инструмент за сумата от 20 000 стр. терминът плащането на което се случва в 1,5 година, отчетени за съединение интерес процент от 18% годишно. Определяне на сумата, получена при регистрирания собственик на законопроекта, и съответната отстъпка.

Решение. Тук, при условие задачи S = 20 000, N = 1,5, D = 0,18. След това формулата (4) получаваме следните резултати за изчисление:

сумата, получена от собственика на P = 20000 (1 - 0.18) 1.5 14850 стр. 83 копейки.

отстъпка D = S - P 20 000 - 5149 = р 14,850.83. 17 копейки.