Diophantine уравнения

Diophantine уравнения

Diophantine уравнения се наричат ​​алгебрични уравнения или система от алгебрични уравнения с цели коефициенти, за които ние трябва да намерим числа или рационални решения. В този случай, броят на неизвестните в уравненията трябва да бъде поне два (ако не се ограничава до цели числа). Diophantine уравнения обикновено са много решения, така че те се наричат ​​неопределени уравнения. Това, например, уравнението:

Те са кръстени на гръцкия математик Diophantus, който е живял през III. Неговата книга "Аритметика", съдържаща голям брой интересни проблеми, той учи математика от всички поколения. Книгата е запазен и до днес, тя може да бъде намерена в превода на български език на библиотеката.

число и рационални решения на проблема с търсенето обикновено тясно свързани. Лесно е да разбера каква връзка има между целочислени решения на уравнението и рационални решения на уравнението

Чрез Diophantine уравнения водят задачи по смисъла на ценностите, които са непознати може да бъде само числа.

Решаването на уравнения в цели числа - много вълнуващо предизвикателство. От древни времена, натрупани много начини за решаване на конкретни Diophantine уравнения, но само в нашия век общите методи за тяхното изследване. Въпреки това, линейни уравнения и Diophantine Diophantine уравнение от втори степен се научили да се реши за дълго време.

Така че, това е лесно да се докаже, че формулите, (- всяко цяло число) са всички цялостни решения на уравнението. Формули за определяне на интегралните страни на правоъгълен триъгълник (тоест, да се реши уравнението) са били известни на древните индийци: ,, (и - цели числа).

Решения на Diophantine уравнения на по-висока степен, както и системи от уравнения бяха дадени с голяма трудност. Известният уравнение на Ферма, която е преди повече от триста години, той е написал в полето "Аритметика" Diophantus не реши досега (виж. страхотно теорема на Ферма).

Дори и с Diophantine уравнения, които подлежат на решение с голяма трудност, както и отговорите, може да е доста по-различно. Така че, уравнението не разполага с решения в цели числа, с изключение на нула. Уравнението има краен брой решения в цели числа, които са лесни за намиране. Уравнението има безкрайно много цялостни решения, обаче, напиши формула не е лесно за тях.

Въпреки това, беше установено, че кубични уравнения са в известен смисъл един от друг. През 20-те години. нашия век английски математик EI Mordell предположи, че уравнението на по-висока степен от 3, трябва да има, като правило, краен брой целочислени решения. Тази хипотеза се оказа през 1983 г. от холандския математик Faltings. По този начин се потвърждава, че уравнението за всеки ферма има само краен брой решения в цели числа (без общи фактори). Въпреки това, до този момент няма начин да се намерят тези решения.

За дълго време, ние се надяваме да се намери общ начин за решаване на всеки уравнение Diophantine. Въпреки това, през 1970 г. Ленинград математика V. Matiyasevich доказано, че този общ метод не може да бъде.

Решаването на уравнения в цели числа - един от най-красивите райони на математика. Не голям математик не се предава от теорията на Diophantine уравнения. Ферма, Ойлер и Лагранж, Гаус и Дирихле, Chebyshev и Риман остави незаличима следа в този най-интересната теория.